Se destacó desde pequeño por sus dotes musicales y afán de estudio. Como miembro fundador con Lorenz Mizler de la Leipzig Correspondierende Societät der Musicalischen Wissenschaften, se le otorgó una necrología detallada en la Neu eröffnete musicalische Bibliothek, IV de Mizler (1745). Esta establece que nació en Berneck cerca de Bayreuth, donde su padre sirvió como Kantor antes de trasladarse a Naila como administrador de minas. A los diez años de edad, luego de la muerte de su padre, Bümler fue enviado a Münchberg para volverse un estudiante en la Lateinschule. Cuando tenía aproximadamente 13 años se unió a la corte de Bayreuth como discante de cámara, donde estudió canto e instrumentos de teclado con Ruggiero Fedeli. Durante las siguientes dos décadas su talento excepcional como cantante hizo posible una extensa carrera en Wolfenbüttel, Hamburgo, Berlín, y regresar de nuevo a Bayreuth. En 1698 fue nombrado músico de cámara y contralto solista en la corte de Ansbach, donde en 1717 sucedió a Johann Christian Rau como Kapellmeister.

En  mayo de 1722 acompañó a su primera esposa, la cantante Dorothea Constantia Bauer, a Italia, pero se les exigió volver a la corte en febrero de 1723 para el entierro del Margrave Georg Friedrich. Luego de abandonar sus deberes en la corte, fue por poco tiempo Kapellmeister de la Reina Eberhardine de Polonia y Sajonia en Pretsch (en el Elba), pero por razones desconocidas dejó el empleo para irse a Hof (Saale). En 1726 recobró su puesto como Kapellmeister en Ansbach. Su esposa murió en 1728 y en 1729 se casó con la cantante Sabina Sophia Schneider.

Bümler era un músico bien instruído que no sólo trabajó como compositor e intérprete, sino también tuvo toda la vida interés en matemáticas, astronomía, óptica y cronometría. Su método de temple parejo fue mencionado en "Critica musica" de Mattheson (1722). Desgraciadamente mucha de su música parece estar perdida, incluyendo un ciclo de dos años de cantatas de iglesia para Ansbach. En el texto de la cantata fúnebre por Lorenz Mizler, publicado con la necrología, dice: ‘En su música de iglesia, como en otra música, usted hizo mucho, y Ansbach todavía conmueve almas pías con su música devota en cada servicio para el Señor'.